Umschlüsselung der Steuerklasse durch Arbeitgeber oder Finanzamt?

Hallo liebe Community,

ich bin momentan Studentin und verdiene meinen Lebensunterhalt über Minijobs. Im Mai diesen Jahres habe ich den Job gewechselt. Beide Tätigkeiten haben sich einen Monat überschnitten. Zum 30.05. habe ich bei meinem neuen Arbeitgeber begonnen und der alte Arbeitgeber hat mich zum 30.06. beim Finanzamt abgemeldet. Mit der ersten sowie den folgenden Lohnabrechnungen des neuen Arbeitgebers habe ich festgestellt, dass ich dort mit Steuerklasse 6 geführt werde. Für den einen Monat, als beide Jobs parallel liefen, ist dies ja berechtigt. Doch bis jetzt ist die Lohnsteuerklasse nicht umgeschlüsselt worden, sodass ich Lohnsteuer zahle, obwohl ich nur noch einem Minijob nachgehe und dort nicht mehr als 450€ verdiene. Auf Nachfrage in der Finanzbuchhaltung meines neuen Arbeitgebers erhielt ich die Antwort, dass die Umschlüsselung von Lohnsteuerklasse 6 auf Lohnsteuerklasse 1 durch das Finanzamt zu erfolgen habe. Auf Nachfrage beim Finanzamt erhielt ich die Antwort, dass die Umschlüsselung durch den Arbeitgeber zu erfolgen habe. Also meldete ich mich erneut beim Finanzamt und erhielt die gleiche Antwort wie zuvor.
Hat jemand bereits einen ähnlichen Fall erlebt oder weiß mehr, als ich?

Ich danke für die Hilfe!