Bis wenn haftig wenn Nachmieter nicht unterzeignet?

Hallo

Ich habe ausserterminlich mein Mietvertrag gekündigt. Die Mitdauer is 6 Monate befristet und läuft vom 16.03.2023 . Vertragsgemäß muss ich 3 Monate vor Ende der Mietdauer kündigen, andernfalls verlängert sich der Vertrag stillschweigend um 6 Monate. Am 24. Mai habe ich ausserterminlich gekündigt, damit ab dem 1.09.2023 jemand in das Haus einziehen kann. Ich habe einen Nachmieter gefunden, aber ich fürchte, er wird den Mietvertrag nicht unterschreiben. Laut Vermieter hafte ich für die Mietkosten bis zum 31.10.2023. Ist das richtig? Da ich 3 Monate im Voraus gekündigt habe, endet die Mietdauer am 15.09.2023. Was passiert wenn Nachtmieter den Mietvertrag nicht unterzeichnet, bis wann bin ich heftig? (Entschuldigung, Deutsch ist nicht meiner Muttersprache)