Darf mir der Vermieter das Abstellen von meinem Waschmittel sowie meinen Wäschekörben im gemeinschaftlichen Waschraum verbieten?

Bestimmt, denn wir sind doch lernfähig.

Nachdem auch wir immer wieder aufgeordert werden eine gewissen Sicherheit zu gewähren, fegen wir weder die ausgekippten Inhalte aus Waschmittelpappen noch sonst was weg.

Alles eigentlich ganz einfach.

Sind dort WM des Vermieters zur gemeinschaftlichen Nutzung oder WM der der Mieter aufgestellt?

ja, wenn dein gebrauch des raumes zu stark überhand nimmt und du andere beeinträchtigst, darf der das schon

In Gemeinschaftsräumen darf er das. Häufig ist so etwas auch in der Hausordnung geregelt.

Vermieter können viel verbieten... Allerdings sollte er dir fairerweise eine logische Begründung für dieses Verbot liefern.