Rückwirkende Gehaltserhöhung nach Kündigung?

Hallo,

mein Chef hat mit mir im Jahresabschluss Gespräch im Januar 2020 eine Gehaltsanpassung ab Juni 2020 vereinbart, welche auch rückwirkend bis zum Januar 2020 ausgezahlt werden soll. Diese Vereinbarung wurde auch schriftlich festgehalten und per E-Mail an mich übermittelt, ist jedoch nicht im Arbeitsvertrag aufgenommen worden bisher.

Während der Corona Krise habe ich nun insgesamt 4 mal gefragt, wann die Gehaltsanpassung in meinem Arbeitsvertrag aufgenommen und ausgezahlt wird. Ich wurde aber immer wieder vertröstet da man in der aktuellen Situation nicht abschätzen könne, wie sich alles entwickelt. Die Auftragslage in der Firma ist jedoch nach wie vor sehr gut und von Kurzarbeit oder Umsatzeinbußen ist keine Rede.

Ich habe jetzt eine neue Stelle gefunden und zum 01.08 meine Kündigung eingereicht (mit 4 Wochen Kündigungsfrist).

Habe ich rechtlich einen Anspruch auf das mir versprochene Geld (von Januar bis August 2020)?

Randinformationen: Es gibt keinen Tarifvertrag, Gewerkschaft o. Ä. und ich wohne und arbeite Hessen.

Über Rat würde ich mich sehr freuen!