Brauche ich in meiner Wohnung einen Wasserzähler für die Waschmaschine?

nein, weil du direkt den kompletten wasser- und stromverbrauch über die wohnung abwickelst. im keller bräuchtest du den nur, wenn dort mehrere maschinen stehen, bei denen der unterschiedliche wasserverbrauch berücksichtigt werden muss.

Ja. Wenn die im Keller über die BK abgrechnet wird. Oder man rechnet so: ob Du oben oder unten wäschst ist egal.

Wozu das denn - die Gemeinschaftswaschmaschine wird vermutlich gegen Entgelt pro Waschladung genutzt werden - und von diesem Entgelt sind die kompletten Kosten für die Maschine abgegolten - Abnutzung / Wasser- und Stromverbrauch.

Wozu?

Du entnimmst dem Wasserkreislauf Deiner Wohnung Wasser.

Und hierfür gibt es ja bereits einen Zähler im Bad.