Zwei Wohnungen zusagen- wie ist das rechtlich gesehen?

Hallo liebe Community,

mein Freund und ich waren am Montag für Wohnungsbesichtigungen in einer Stadt und haben, als wir eine Wohnung gefunden haben, die uns einigermaßen zusagte, dem Mieter Bescheid gegeben, dass wir der Vermieterin eine E-Mail schreiben werden, dass wir die Wohnung gerne nehmen würden. Dies haben wir direkt nach der Besichtigung getan. Zwei Stunden später haben wir jedoch noch eine Wohnung gesehen, die uns besser gefiel. Dieser haben wir gleich zugesagt, da wir dachten, wir könnten der ersten Wohnung ja einfach wieder absagen, da wir bis jetzt nur eine E-Mail an die Vermieterin geschrieben haben. Nun ist es aber so, dass sich die Unterzeichnung des Mietvertrags bei der gewünschten Wohnung als recht kompliziert herausstellt (Der Vermieter fordert Schufa-Auskünfte von uns und von unseren beiden Bürgen, die wir erst bestellen mussten. Sie werden per Post wohl erst in den nächsten Wochen ankommen). Gleichzeitig hat mir die Vermieterin von der ersten Wohnung geschrieben, dass sie die Schufa-Auskünfte für 12€ für uns einholen könnten, was die Unterzeichnung des Mietvertrags natürlich beschleunigen würde, da wir nicht noch mehrere Wochen auf die Schufa-Auskünfte warten müssen. Nun meine Frage: Könnten wir der Vermieterin von der ersten Wohnung einfach zusagen und dem Mieter der zweiten Wohnung, dem wir beim Besichtigungstermin eine Zusage erteilt haben, absagen? Er hat gesagt, dass er alle weiteren Besichtigungstermine absagt, daher erscheint es mir zusätzlich unfair, ihm jetzt abzusagen.

Schonmal im Voraus danke für Euren Rat.

LG