Waschmaschine des Mieters verliert Wasser - aufforderung zur Instandhaltung / abmahnung rechtens?

Für den Mieter ergibt sich aus § 543 Abs. 2 Satz.1 Nr. 2 BGB eine Obhuts- und Sorgfaltspflicht, wonach er mit der Mietsache pfleglich und schonend umzugehen hat. Das gilt selbstverständlich auch für die Gemeinschaftsräume.

Hält er sich nicht daran, ist eine Abmahnung durchaus berechtigt. Je nachdem was an der Maschine defekt ist, können ja auch noch ganz andere Schäden verursacht werden als nur der Beton.

Ob das gleich eine Abmahnung sein muss oder es vielleicht doch erst mal mit einer "netten" aber verbildlichen Aufforderung getan ist, ist deine Entscheidung. Du solltest ihn aber darauf aufmerksam machen, dass er für eventuell durch die defekte Maschine enstehende Schäden schadenersatzpflichtig ist. Wenn er so sehr auf's Geld achtet, rüttelt ihn dieser Satz ja vielleicht wach.

Der Beton wird wohl kaum Schaden nehmen. Er wird höchstens etwas unansehnlich. Aber es ist auch für andere Nutzer des Waschraums unangenehm, ständig durch Pfützen laufen zu müssen oder diesen ausweichen zu müssen. Es gehört zu Ordnung und Sauberkeit, dass eben kein Wasser unnötig rum schwimmt. Zudem besteht die eigentliche Gefahr eher darin, dass sich die Feuchtigkeit im Keller unnötig erhöht, was wiederum zu Schimmel und muffigem Geruch führen kann, der alles andere, was im Keller aufbewahrt wird, auch beeinträchtigt.

Ich persönlich würde dem Mieter erstmal schriftlich den Betrieb der defekten Waschmaschine untersagen und ihn darauf hinweisen, dass du ihn für sämtliche aus dem Betrieb verursachten Schäden schadensersatzplichtig machst.

Die dem Mieter obliegenden Obhuts- und Sorgfaltspflichten beginnen mit
der Übernahme der Mietsache und richten sich nach § 543 Abs. 2 Satz.1
Nr. 2 BGB.

Erst wenn er dann immer noch nicht reagiert, würde ich ihm die Abmahnung schreiben.