Von zuhause ausziehen bezahlt das amt das?

Bei Bezug von BAföG ist ein Regelleistungsbezug von SGB II-Leistungen (Jobcenter) grundsätzlich ausgeschlossen (§ 7 SGB II). Ob ein Mietzuschuss übernommen ist einzelfallabhängig und wird durch mehrere Rechtsanhängigkeiten auch unterschiedlich von den SGB II-Trägern bewertet.

Neben dem BAföG-Bezug könnte dann noch das Wohngeld in Frage kommen. Dieses ist i.d.R. bei der Gemeinde-/Amtsverwaltung (oder sonstige Bezeichnung deiner unteren Verwaltungseinheit) zu beantragen.

SGB VIII-Leistungen (Jugendamt) kommen nicht in Betracht, da diese nicht existenzsichernde Leistungen darstellen.

Unterhaltsrechtliche Angelegenheiten sind bis zu deiner wirtschaftlichen Selbstständigkeit (Grundsatz) immer mit deinen Eltern zivilrechtlich selbst oder über die Beistandschaft (beim Jugendamt) bzw. Rechtsanwalt zu klären. Dabei ist sowohl deine Mutter, als auch dein Vater in der Pflicht, da Verwandte sich in gerade Linie gegenseitig zum Unterhalt verpflichtet sind (§ 1601 BGB).

Bzgl. der Nachfrage zum Auszug: Soweit deine Mutter im SGB II-Bezug ist, wird der entsprechende Träger deinem Auszug nur zustimmen, wenn das Zusammenwohnen nicht mehr zumutbar ist. Das heißt, nicht nur Hin und Wieder ein Streit, sondern extreme Bedingungen. Insbesondere ist die Nachweispflicht entscheidend. Du kannst natürlich im Sinne deiner Freizügigkeit einfach ausziehen, die Frage ist dann, in wie weit dann noch der eh schon fragliche Mietzuschuss gewährt wird (siehe oben). Deine Mutter könnte verpflichtet werden umzuziehen, da ihre Wohnung von vermutlich 2-3 Zimmern zu groß sein könnte. Das regeln aber kommunale Satzungen und ist von Zuständigkeitskreis zu Zuständigkeitskreis unterschiedlich entsprechend den örtlichen Bedingungen (§ 22a SGB II).

Ansonsten kannst du grundsätzlich überall ein Antrag auf Sozialhilfe stellen. Diese sind immer kostenlos und das schlimmste was passieren kann, ist eine Ablehnung.

Dann wirst du wohl neben deiner Ausbildung einen Nebenjob anfangen. 
Du bekommst Bafög und Kindergeld. Mehr steht dir nicht zu.

Und ja wenn du ausziehst muß deine Mutter ebenso umziehen, da es gewisse Vorschriften geht was wem zu steht.  
Normaler Weise sind das bei 1 Person   45 qm.   Bei 2 Personen sind das bis zu 60 qm

Natürlich kannst du beim Amt nachfragen und denen deine Situation schilderst.  Aber ich glaube nicht das sie, nur weil du Stress daheim hast, dir eine Wohnung finanzieren.

Du bildest mit deiner Ma eine sog. Bedarfsgemeinschaft. Deshalb bekommst du erst Kosten ersetzt für einen Umzug wenn du mindestens 25 Jahre alt bist.

Ob deine Mutter aus der bisherigen Wohnung ausziehen müsste, hängt u.a. von der Größe der Wohnung ab. Wenn die Wohnung für eine Person nicht mehr angemessen ist, kann das gut sein.

Bevor du neben dem BAföG noch andere Leistungen bekommst, müsstest du andere Möglichkeiten in Anspruch nehmen (Kindergeld, ggf. Unterhalt), wie andere schon geschrieben haben.

Solange du BAföG beziehst, können nach § 7 Abs. 5 i.V.m. 27 SGB II bestimmte Leistungen vom Jobcenter gezahlt werden, ggf. als Darlehen: Kosten der Unterkunft und Heizung, Mehrbedarfe, Bildung und Teilhabe.

Zum 01.08.2016 ist eine Gesetzesänderung in Kraft getreten. Seitdem kann man ergänzend zum BAföG auch Arbeitslosengeld II erhalten, allerdings nur unter engen Voraussetzungen (§ 7 Abs. 6 SGB II; eigene Wohnung müsste soweit ich weiß schon vorhanden sein).

Das Jobcenter hat dir gegenüber eine Beratungspflicht, d.h. du kannst dort hingehen, deine Situation schildern und nachfragen, auf welche Leistungen du einen Anspruch haben könntest. Sollte z.B. am Empfang schon der Hinweis kommen, dass BAföG-Empfänger grundsätzlich nichts bekommen könnten, weise freundlich auf die Gesetzesänderung vom letzten Jahr hin und frage trotzdem nach einer genaueren Beratung. Es kommt insgesamt eher selten vor, dass BAföG-Empfänger beim Jobcenter Anträge stellen, deshalb gehen solche Möglichkeiten bei einigen Mitarbeitern schon mal unter.

Dein Fall ist kompliziert. Wenn du eine allgemeinere Beratung haben möchtest, kannst du beim Jugendamt nachfragen. Sollte sich das Jugendamt für nicht zuständig erklären (weil du schon 18 Jahre alt bist), kannst du dich an eine Sozialberatung der Wohlfahrtsverbände (Diakonie, Caritas, AWO) wenden. Die können dich auch bei der Antragstellung beim Jobcenter unterstützen.

In der Regel gibt es keine Unterstützung, nur bei schwerwiegenden sozialen Gründen.

Du kannst zum Jugendamt gehen und dort die Situation schildern.

Das wird dann geprüft und dann kann es in Zusammenarbeit mit den Jobcenter Hilfe geben.