Muss man Finderlohn zahlen, damit das Fundbüro das Fundstück aushändigt?

nein muss man nicht grundsätzlich , kommt aber auf den Wert des Fundstücks an,

Dem Fundbüro nicht. Aber der ehrliche Finder, der es dort abgibt, hat ein Recht darauf 5% des Gegenstandwertes als Finderlohn zu erhalten. 

Das Fundbüro selbst, wird darüber hinaus sicher ein paar Euro für den Verwaltungsaufwand verlangen. (Ich gehe von 5 -10 Euro aus.)

Nicht immer..z.B  Fundbüro der deutsche Bahn verlangt Geld 5 bis höchsten 10 Euro. 

Finderlohn bestimmt nicht.. 

Aber kosten können für die Verwaltung entstehen.. 
das erfährst du auf der Homepage deiner Stadt/Gemeinde oder rufst dort an..

Nein, das Fundbüro verlangt keinen Finderlohn.