Kündigung durch arbeitnehmer bei insolvenz?

Natürlich muss er schriftlich kündigen, auch wenn er keinen Arbeitsvertag hat. 

https://blog.regioalbjobs.de/arbeitsrecht/arbeitsvertrag-woran-sich-arbeitnehmer-im-zweifel-halten-konnen-wenn-nichts-schriftlich-fixiert-ist/

Wenn er ein gutes Angebot hat, sollte er mit dem Chef reden, evt. kann er auch früher gehen? 

Wenn es sich um eine Firma handelt die ohnehin abgewickelt wird, würde ich mal das Gespräch mit dem Insolvenzverwalter suchen. Ggf. kommt man dann sofort auf dem Arbeitsverhältnis.

Ansonsten kann er natürlich jederzeit kündigen.

Bevor er keinen neuen Arbeitsvertrag hat, rate ich von einer Kündigung aber sehr ab. Wenn's schief geht, gibt es nicht mal Insolvenz-Ausfallgeld vom Arbeitsamt.

Selbstverständlich kann man kündigen. Es gelten dieselben Kündigungsfristen. Nur umgekehrt gelten ggf. andere Fristen.

Man kann immer einfach selbst kündigen. Aber nicht von Heute auf Morgen. Gesetzlich ist festgelegt, wie viel früher der Arbeitnehmer schriftlich bescheid geben muss, dass er kündigt. 

Das gilt auch in einer Insolvenz.

Wenn der Betrieb Personal einsparen möchte, kann man über einen Auflösungsvertrag verhandeln. Also das der Betrieb zustimmt, dass sofort gekündigt wird.