Darf ich einen Teil einer Wort-Bildmarke als Gruppenname bei Facebook verwenden?

Natürlich kann sie das. Warum sonst sollte sie viel Geld ausgeben für die Erstellung der Marke und den Schutz der selbigen. Sie muss es nicht dulden, dass diese Marke im Zusammenhang mit einer Fratzenbuchgruppe verwendet wird, die nicht ihrem Einfluss unterliegt. Auch, wenn es nur ein Ausschnitt ist. Auch, wenn es um ihre Produkte geht. Auch, wenn es eine „private“ Gruppe ist.

Die Facebook Gruppe soll ein Erfahrungsaustausch für Nutzer der Artikel der Marke sein.
Der Artikel ist aus dem Gesundheitsbereich und kann von jedem gekauft werden. Der Inhaber des Markenrechts vertreibt den Artikel, der allerdings nicht von dem Inhaber hergestellt wird, sondern von einer anderen Firma welche im EU Ausland sitzt.
Der Name des Artikels ist vom Gründer der Firma abgeleitet. Ich möchte die Bezeichnung nicht nennen da man sie dann sofort auf Google nicht findet aber ein Beispiel bringen wie sich das zusammen setzt.

Beispiel:
Josef Huibuh erfindet einen Massagestab

Nennt seine Firma in Tschechien dann J H L HUIBUH und vertreibt Massagestäbe. In Deutschland verkauft dann jemand Massagestäbe der Tschechischen Firma und nennt seine Marke J H L HUIBUH.
Nun habe ich meine Gruppe Erfahrungsaustausch zum Massagestäben von Huibuh und weiteren genannt.

Das ist jetzt natürlich mit falschen Namen, sollte aber das Problem gut darstellen.

Im Zweifel entscheidet so was ein Gericht.

Aber wenn man hier ansatzweise eine Einschätzung geben soll, müsstest du schon Details nennen. Um weiche Wort-/Bildmarke handelt es auch und welchen Teil willst du benutzen?

Generell meine ich, dass eine private Nutzung solcher Marken nicht verboten ist, bin mir aber nicht sicher. Wenn du die Facebookgruppe geschäftlich nutzt, musst du das Markenrecht auf jeden Fall beachten.

Ja, es ist so: https://www.gesetze-im-internet.de/markeng/__14.html - siehe besonders (2) 3.