Aufhebungsvertrag notwendig nach schriftlicher Zustimmung der Auflösung auf der Kündigung?

Hallo liebe Mitmenschen,

ich habe letzte Woche meinen Arbeitsvertrag gekündigt (Kündigungsfrist 3 Monate). Nach mündlicher Rücksprache mit meinen Chefs ist eine vorzeitige Auflösung machbar. Dies habe ich so in meine Kündigung geschrieben und somit um einen Aufhebungsvertrag gebeten, um meine neue Arbeitsstelle zum 01.05.22 antreten zu können. Mein Chef hat der vorzeitigen Auflösung schriftlich auf der Kündigung zugestimmt und so auch vermerkt, unterschrieben und gestempelt. Laut meines Chefs ist ein eigentlicher Aufhebungsvertrag somit nicht mehr notwendig. Letztendlich habe ich jetzt etwas Schriftliches in der Hand, das dieses Vorgehen von Seiten der Chefs so bestätigt. Morgen lasse ich meinen 2. Chef, der zum Zeitpunkt der Kündigung im Urlaub war, noch zusätzlich auf der Kündigung unterschreiben, um wirklich von beiden die Absicherung zu haben. Ich hoffe ich habe das Ganze nicht zu wirr dargestellt. Was sagt ihr dazu? Reicht mir die Kündigung samt Vermerk meines Chefs?