Wer ist bei einer Mietwohnung für die Wartung des Gasherdes verantwortlich?

Step 1: Im Mietvertrag reinsehen, i.d.R. wird z.B. eine Kücheneinrichtung zur Nutzung mit vermietet soweit vorhanden, die Instandhaltungskosten gehen wenn nichts anderes vereinbart wurde zu Lasten des Vermieters. Übrigens bei den installierten Rauchmeldern die jetzt in vielen Bundesländer gesetzlich vorgeschrieben sind, ist die Wartung und der Austausch der Batterien auch Sache des Vermieters.

allerdings müsste das soweit ich das sehe auf eigenen Kosten passieren...

Du siehst das vollkommen richtig. Du hast ja auch den Nutzen davon. Der Herd wurde Dir funktionsfähig übergeben und wenn Du Dir unsicher bist und ihn deswegen überprüfen lassen willst, was durchaus sinnvoll ist, dann geht das auf Deine Kosten. Aber keine Angst, das wird Dich nicht ruinieren.

Ist der Gasherd mitvermietet, hat der Vermieter für seine Funktionstüchtigkeit zu sorgen. Die Wartung ist eine andere Frage. Wenn diese im Mietvertrag nicht geregelt ist, ist auch dafür der Vermieter zuständig.

Den Absperrhahn für den Gaszufluss solltest du bei Nichtgebrauch des Herdes immer (besonders bei längerer Abwesenheit) geschlossen halten.

Keineswegs heizt/kochst du mit Edelgas, das könnte niemand bezahlen. Es ist ganz einfach aromatisiertes Erdgas. Auch dieses verursacht keine Rostschäden.

Wartung eines Gasherdes?

So was ist mir nicht bekannt.

Derzeit ist der Gashahn zum Herd noch offen, kann bei dem abstellen was passieren?

Außer das der Herd nicht nutzbar ist nichts.

Rosten kann ja nichts da Gas ein Edelgas ist soweit ich das richtig sehe?

Erd- oder Flüssiggas ist kein Edelgas.