Wer erstattet uns , nach unverschuldeten Wasserschaden, die Küchenschränke?

Zunächst einmal wäre das Verschulden zu klären. Du schreibst "Das Wasser schoss sehr stark aus der Spüle ".

Wasser fließt aber nicht einfach aus der Spüle. Wo kam es her? (aus dem Abfluss?) Warum? (lief die Spül- oder Waschmaschine?)

Wenn Du z.B. eine Rohrverstopfung verursacht hast, bleibst Du auf dem Schaden sitzen. Sind die Rohre veraltet und im Laufe der Zeit zugesetzt, greift die Versicherung des Vermieters.

Ohne weitere Informationen kann man das aber aus der Ferne nicht sagen.

Wir verfügen aber nicht über eine Hausratversicherung. 

Das ist aber jetzt echt übel.

Lediglich über eine Hapftlicht. Muss der Vermieter trotz allem übernehmen und wenn ja wie kann ich dies beanstanden?

Nein, da habt ihr leider Pech. Ihr könnt nur hoffen dass der Vermieter Euch vielleicht entgegen kommt.

https://www.deutsche-anwaltshotline.de/rechtsberatung/112519-ersatz-der-moebel-nach-wasserschaden

Ich als netter Vermieter würde das machen.

Hat er keine Versicherung muss er selbst bezahlen wenn er schuldig ist, oder derjenige dessen Rohr zur Bruch kam.

Der Dreh- und Angelpunkt für eine Haftung des Vermieters ist dessen Verschulden. Ein Wasserschaden hat i.d.R. keinen unmittelbaren Verursacher, so dass er aus der Haftung für die Möbel raus ist. Da es aber bei euch offenbar regelmäßig zu dem gleichen schadensverursachenden Ereignis kommt, dürfte ein Verschulden des Vermieters möglich sein (der Mangel ist ihm bekannt wurde aber nicht behoben = Verletzung der Verkehrssicherungspflicht).

Ihr solltet euch einen RA nehmen, der Schadenersatzansprüche durchsetzt.

In dem Falle könnte die Entschädigung durch die Gebäudeversicherung erfolgen.