Wenn man in einem EU Land vorbestraft ist, ist das man automatisch in allen anderen EU Ländern auch?

Nein, das ist nicht der Fall. Solltest Du allerdings in einem Land, das für Dich Ausland ist, eine Tätigkeit beginnen wollen, die sicherheitsrelevant ist oder auch eine besondere Zuverlässigkeit erfordert, dann wäre es unter Umständen denkbar, dass man von Dir auch ein polizeiliches Führungszeugnis des Heimatlandes anfordert oder intern selbst Erkundigungen einzieht.

Ich vermute mal, dass das auf jeden Fall für Drittstaatler gilt. Auch bei EU-Bürgern sollten Vorstrafen den europäischen Sicherhetsbehörden vorliegen. Ob die dan auch Eingang in ein polizeiliches Führungszeugnis finden? Mal schauen...

Ja. Es gibt ein EU-Führungszeugnis:

https://www.bundesjustizamt.de/DE/Presse/Archiv/2012/20120424.html

Ne aber beispielsweise können sie dir die Einreise erschweren/verbieten.