Was passiert mit Put Option unter strike?

Ich schreibe das mal der Reihe nach auf, was du bereits kennst, einfach überlesen.

Dann war die Put-Option zu Beginn OTM (Out of The Money) und Netflix ist bei deinem Beispiel innerhalb einer Woche um 25% gesunken und der Put dann Deep In The Money (ITM).

Beim amerikanischem Exercising kann jederzeit ein Assignment stattfinden, beim europäischen nur am Verfallstag. Ist eine Option auch nur einen Cent im Geld (z.B. $399,99 bei Strike $400) kann man am Verfallstag mit einem sicheren Exercising rechnen. Ist eine Option lange vorher im Geld kommt es auf verschiedene Punkte an, ob du mit einer Ausübung rechnen kannst:

1. wie weit im Geld
2. wie viel Tage bis zum Verfallstag
3. Höhe der impliziten Volatilität und die Werte der Greeks

Es gibt weitere Punkte. Auf jeden Fall sind deine $100 im Geld bei einem 400er Strike Deep ITM und da die Option sehr schnell ins Geld gelaufen ist (1 Woche für 25%) ist die Implizite Vola und natürlich Delta sehr stark angestiegen. Das wiederrum hat die Prämie für diesen Put explodieren lassen und aufgrund des hohen Deltas reagiert die ITM Option auch entsprechend stark auf jede Änderung vom Underlying.

kann der Put Käufer trotzdem sagen daß er zu 350$ verkaufen will

In deinem Bsp (amer.) darf er das und rechnet sich das vorher durch, da wie oben geschrieben die Impl.Vola sehr hoch ist und da ein Verkauf der Option rentabler sein kann. Das kann man als Verkäufer nicht abschätzen. Für dich mag es gut klingen, dass der Kurs wieder steigen kann, für den Put-Optionskäufer nicht, da der Kurs bei deinem Bsp. extrem hohe ImplVola hat und ein Kursanstieg für ihn viel Geld vernichten würde. Aber als Erfahrungswert kann ich dir sagen, dass eine Deep ITM Option wie in diesem Bsp. schon mit höherer Wahrscheinlichkeit ausgeübt wird. Sollte das nicht passieren, dann ist man nicht aus dem Schneider, da die ImplVola wieder zurückgeht und damit die Rentabilitätsrechnung zum Ausüben sich zugunsten der Ausübung verschiebt.

Um die von dir gewünschte Wahrscheinlichkeit abzuschätzen sollte man sich auch immer den Open Interest per Strike anzeigen lassen (IB --> Option Analytics --> Option Activity --> OI by strike)

Wie man deutlich sehen kann wäre bei einem ExpDay im Juli ein Strike < 300 vorzuziehen, sofern man kein Assignment wünscht.

und muss ich dann für die Differenz (50$) aufkommen?

Ja, sicher doch. Bei einem Contract wäre das Underlying dann erstmal mit $5000 im Minus (zzg. Optionsprämie).

Wie läuft sowas in der Realität ab? Muss man dann rollen?

Genau, Zurückkaufen oder Rollen. Beides würde in deinem Beispiel hohe Verluste mit sich bringen, da man eine Option nicht so weit ins Geld laufen lässt ohne aktiv zu werden. Das Rollen an sich bei einer Option ist einfach, bei einem Spread oder gar Iron Condor eine Qual und Kunst zugleich.

ich habe mir mal die Optionen angeschaut, 30 Tage, Strike $300 und Margin $2600 würde läpperliche $46 bringen abzüglich Zinsen für die Margin und das bei obiger OI-Aufstellung, da ist das ROI zu gering und das Risiko zu hoch.

Da, das ist bei amerikanischen Optionen so. Sie kann jederzeit ausgeübt werden. Trotzdem wird der Inhaber es nicht tun, sondern wird die Option verkaufen, weil er dann zusätzlich den Zeitwert realisiert und somit mehr, als wenn er ausübt.