Wann muss Vermieter Leichengeruch beseitigen lassen, gibt es ein Gesetz das dem Vermieter eine bestimmte Frist setzt einen Tatortreiniger zu beauftragen?

Umgehend, also so schnell wie möglich. Schriftlich die sofortige Beseitigung fordern. Wenn sich nichts tut, einen Anwalt aufsuchen und Mietminderung durchsetzen.

Der Nachbar lag, längere Zeit tot im Treppenhaus?

Verwesungsgeruch im Treppenhaus ist ein Mangel, an der Mietsache. Dies berechtigt zur Minderung der Miete. Das Minderungsrecht steht dir mit Auftreten des Mangels zu, dass ist eine gesetzliche Folge. Allerdings solltest du den Vermieter (nochmals) auf den Mangel hinweisen. Es ist wohl aber davon auszugehen, dass er von den Umständen des Ablebens eines seiner Mieter bereits Kenntnis hat. Das wäre der erste Weg. Für den Fall, dass er hier keine unverzügliche Abhilfe kommt, sollte man das Gesundheitsamt einschalten. Die müssen von amts wegen einschreiten, da eine Gesundheitsgefahr besteht (mindestens ekelerregend).

Abhilfe wird wohl nur eine professionelle Reinigung und Instandsetzung der betroffenen Räumlichkeiten bieten. Dies sollte aber der Umstände halber, innerhalb weniger Tage zu veranlassen sein. 

Das muss er umgehend machen. Bleibt die Frage ob das überhaupt machbar ist. Der Kompromiss wäre, dass die Mieter ohne Kündigungsfrist ausziehen können.

Wie beseitigt man den Verwesungsgeruch? Lüften? Ausmalen? Oder an was hast du gedacht?
Aber am besten mit dem Vermieter reden oder ihn einladen, damit er es selbst riecht.

In diesem Fall sind das unzumutbare Zustände. Da lässt sich sicherlich etwas machen. Am besten mal auf frag-einen-anwalt.de einen Anwalt fragen.