Ist es illegal ein YouTube Video mit einem Aufnahmeprogramm aufzunehmen wenn man es sich aber nur privat ansieht?

Ja, darfst du. Solange (wie du schon gesagt hast) nur eine Private Kopie auf deinem Rechner erstellst.

• Entwarnung: Sie brauchen keine Angst haben, wegen des Downloads von YouTube Videos rechtlich belangt zu werden.
• Private Kopie: Indem Sie ein Video von YouTube downloaden, erstellen Sie sich eine "Private Kopie". Diese privaten Kopien sind rechtlich gesehen dann erlaubt, wenn Sie aus einer legalen Quelle heruntergeladen werden. Bei YouTube handelt es sich um solch eine legal Quelle, da jeder Nutzer freiwillig seine Videos dort hochlädt.
• Grauzone: Viele Musiker laden Ihre Musik meist selbst auf YouTube hoch. Dann ist solch eine private Kopie erlaubt. Sollte einmal ein Musikvideo von einer Person hochgeladen werden, die nicht die Rechte daran besitzt, machen Sie sich mit dem Download allerdings nicht strafbar. Da der Nutzer davon ausgehen kann, dass YouTube zweifelsfrei legalen Inhalt anbietet und illegalen löscht, stehen Sie hier auf der sicheren Seite. Laden Sie solch ein Musikstück herunter, liegt die hypothetische Schuld jedoch bei YouTube und nicht bei Ihnen.
• YouTube AGBs: In den Allgemeinen-Geschäfts-Bedingungen von YouTube steht zwar, dass der Download von Videos nicht erwünscht, beziehungsweise nicht erlaubt sei. Da jedoch jeder Videos angucken kann, ohne den AGBs zuzustimmen, greifen diese nicht.
• Zudem würde sich wohl keine Behörde der Welt die Mühe machen, Jagd auf Downloader von YouTube-Videos zu machen. 

(Quelle: http://praxistipps.chip.de/download-von-youtube-videos-legal-oder-nicht_9496)

LG Alex

Privat ist das erlaubt. Bei weiterer Veröffentlichung musst du den ersteller kontaktieren.