Gartentor zum öffentlichen Park?

Natürlich bedarf es zumindest theoretisch der Zustimmung des Parkbetreibers. Den Grund habt Ihr ja schon selbst beschrieben - es entstünde mit hoher Wahrscheinlichkeit ein "Trampelpfad", durch den eine gewisse Schädigung zu erwarten ist. Von einem so genannten Gemeingebrauch wie etwa beim unregelmäßigen Betreten von Parkwiesen (sofern das nicht im Einzelfall untersagt ist) kann also keine Rede mehr sein. Und selbst wenn die Pforte auf eine Verkehrsanlage führen würde, müsste die Zustimmung des Baulastträgers dann der Verkehrsanlage eingeholt werden.

Man kann freilich nach dem Grundsatz verfahren "Wo kein Kläger ist, ist kein Richter." Aber dann muss man sich nicht wundern, wenn man das auf eigene Kosten zurückbauen und vielleicht sogar Schadenersatz leisten muss. Eine kleine Ausnahme wäre vielleicht eine im Grundsatz verschlossen zu haltende Revisionstür für die Ausübung des Hammerschlagrechts (Wartungsarbeiten am Zaun). Aber da man dazu ohne weiteres auch "außenrum" mit zumutbarem Aufwand ran kommt, bestünde keine Pflicht zur Duldung einer Revisionstür.

Wir sind verpflichtet den Garten mit einem Zaun einzufrieden.

Wer verpflichtet Euch und wie genau lautet die Formulierung? Wenn die Einfriedungspflicht aus dem Bebauungsplan herrührt, sollte der Zulässigkeit eines Tores nichts entgegenstehen, da ein Tor Bestandteil einer Einfriedung ist.

oder betrete ich lediglich öffentlichen Grund

Befindet sich dort eine Rasenfläche? Ist denn das Betreten der Grünflächen ausdrücklich verboten? Darf man sich im Park auf die Wiese legen oder gar sportlichen Aktivitäten nachgehen (Fußball, Frisbee, Federball,...)?

Viele Gemeinden haben Satzungen, was in öffentlichen Parkanlagen erlaubt ist und was nicht. Außerdem könnte sich das Nachbarrecht deines Bundeslandes dem Thema widmen. Wenn Du nirgendwo ein Verbot findest, mach' es einfach. Schlimmstenfalls wird Dir die Benutzung des Tores untersagt.

Frag doch ganz einfach bei Deiner Gemeinde nach anstatt hier, dann hast Du weinigstens eine Antwort, die garantiert stimmt

Wenn es eine "Zaunpflicht" gibt müsst ihr einen Zaun einbauen, sonst nicht.

Öffentlichen Grund gibt es nicht. Solange euer Zaun an einem Weg endet wird keiner was sagen. Wenn die Kinder da einen Drampelpfad anlegen wird es sicher Ärger geben.

Das Tor könnt ihr machen (nach innen zu öffnen). Den Zugang kann der Eigentümer aber verbieten.