Darf mein Arbeitgeber einfach in meine Umsätze gucken. Mein Arbeitgeber-eine Bank- sagt mir, dass ich keine Sportwetten machen soll?

Wer wettet ist per Compliance Einstufung als nicht zuverlässig in der Finanzbranche anzusehen. Du musst dich nicht an die Vorgabe halten, aber es kann darauf hinauslaufen dass du bei der Folgeprüfung (normalerweise unterschreibt dein AG einmal jährllich deine Zuverlässigkeit und dokumentiert das für die Bafin) keine Unterschrift mehr bekommst - das heißt für Beratertätigkeiten ungeeignet bist (und dann heißt es : hallo Kassengeschäft oder sonst etwas)

"darf meine Personalabteilung meine Kontoumsätze einfach so ansehen????"

Darf sie wenn du das Konto beim AG führst, insbesondere wenn sie einen begründeten Verdacht hat dass etwas nicht in Ordnung ist. Hättest du das nicht gewünscht hättest du a) das Konto wo anders eröffnen können b) ein spezielles gesperrtes Mitarbeiterkonto beantragen können auf dem nur 1-2 Berater Zugriff haben

Ich glaube es nicht....Was sagt dein Betriebsrat dazu? 

Müsste doch alles im Arbeitsvertrag stehen. Was die machen dürfen.