Darf ich die gleiche Tätigkeit sowohl angestellt als auch selbstständig durchführen?

Das kommt darauf an, was in deinem Vertrag steht. Meist sehen es die Firmen nicht gerne, wenn du im gleichen Tätigkeitsbereich noch für andere arbeitest. Aber da würde ich an deiner Stelle nochmals den Vertrag lesen und ggfs. vorsichtig nachfragen.

Pauschal Nein. Du unterliegst der Loyalitätspflicht ggü. deinem Arbeitgeber und würdest in diesem Fall einen Interessenskonflikt mit deinem Arbeitgeber und deiner freiberuflichen Tätigkeit geraten.

Es ist nur erlaubt die gleiche Tätigkeit auszuüben, wenn ein Interessenskonflikt ausgeschlossen ist. Z.B. Arbeitgeber entwickelt Sci-Fi-MMORPG für Konsole und PC und die freiberufliche Tätigkeit zielt auf das Schreiben von Jump'n'Run Spielen für Mobilgeräte. 

Quasi immer dann, wenn du das Tätigkeitsfeld deines Arbeitgebers mit abgrasen würdest, ist es verboten. 

Bist du angestellt, musst du deinen AG fragen, ob er mit einer Nebentätigkeit (so nennt man das dann) einverstanden ist. In der Regel stimmen AG zu, wenn es zeitlich nicht so viel ist und in einer anderen Branche. Sie wollen vor allem nicht, dass du der anderen Firma Betriebsinterna oder - Geheimnisse weitergibst.

Das müsste in deinem arbeitsvertag festgelegt werden ob du dann für andere noch arbeiten darfst .... Am besten du fragst deinen cheff biste auf der sicheren seite !!!!!