Wie viel Zeit darf man sich als Mieter lassen, einen piependen Feuermelder dem Vermieter zu melden?

Also, ich denke mal, Du meinst einen handelsüblichen Rauchmelder, keinen "Feuermelder".

Je nach Bundesland und Mietvertrag kann es sein, dass Du als Mieter für die ständige Betriebsbereitschaft verantwortlich bist, also beispielsweise die Batterien rechtzeitig tauschen musst. Bei vielen RM geht das heute aber nicht mehr, da dort langlebige Batterien (10-Jahres-Batterien) verbaut sind und man dann den kompletten RM austauschen muss.

Hier sollte der Vermieter dann natürlich idealerweise tätig werden, bevor die Batterie zu Neige geht.

Ansonsten bist Du halt auch verpflichtet, dem Vermieter den nicht mehr funktionierenden RM zu melden - und das "unverzüglich".
Wie schnell genau, das ist gesetzlich nun nicht eindeutig definiert. Schon in Deinem eigenen Interesse (der RM soll ja Dich schützen!) sollte das so schnell wie möglich passieren. Das muss natürlich jetzt nicht um 2 Uhr in der Nacht geschehen. Aber am nächsten, allerspätestens übernächsten Tag (z.B. am Montag, wenn das am Wochenende festgestellt wurde), sollte man das schon tun.

hat dern runden Knopf,hebel?

den hoch ziehen dann hört er auf zu piepen

eig musste das ziemlich direkt machen, Der Vermieter muss die Dinger aber auch kontrollieren alle paar Jahre mal.

Sie sollten dies dem Vermieter unverzüglich melden.

Baldestmöglich. Wenn es brennt und der Rauchmelder nicht losgeht ist es blöd.

Der Vermieter hat die Pflicht, die Rauchmelder 1x jährlich zu kontrollieren und das zu dokumentieren.

Als Mieter hat man die Pflicht bei offensichtlichem Ausfall, z. B. durch Batterieschwäche, den Vermieter sofort zu informieren, damit er unverzüglich den Austausch des Melders oder der Batterie vornehmen kann, sofern das die Mieter nicht selbst können.

Sind es Melder, bei denen der Batterieaustausch sehr einfach geht, müssen die Mieter das selbst machen.