Wie kann ich nebenberufliche Tätigkeit als Nachhilfelehrer in der Bewerbung nachweisen?

Wenn Du diese Tätigkeit freiberuflich ausübst und auch beim Finanzamt die daraus erzielten Einnahmen angibst  ;-)  könntest Du das als "Nachweis" anbringen. Wenn Du vielleicht sogar über einen Verband oder eine Organisation (Schülerhilfe, Abacus...) die Schüler vermittelt bekommst könnest Du von dieser Stelle eine entsprechende Bescheinigung oder vielleicht sogar ein Zeugnis bekommen.

Ansonsten würde ich diese Tätigkeit einfach in den Lebenslauf mit aufnehmen. Wenn dazu Fragen sein sollten kannst Du diese ja klären, indem Du Deine Tätigkeit erläuterst. Wenn ein Beleg gewünscht wird, könntest Du Referenzen angeben - also "Kunden" denen Du erfolgreich geholfen hast. Allerdings solltest Du diese vorher fragen, ob sie als Referenz zur Verfügung stehen würden und natürlich auch ob sie über Dich etwas Gutes zu berichten haben.