Muss der Vermieter die Türen tauschen?

Zum einen kommt es darauf an ob und was im Mietvertrag vereinbart wurde. 

Zudem hast Du die Wohnung besichtigt und so übernommen.

Der Vermieter muss  z.B. dafür sorgen, dass die Türen funktionieren, entweder reparieren lassen oder austauschen. Schlechtes Aussehen oder weil sie alt sind sind z.B. kein Mangel.

Aber schließen sollten sie. Dem Vermieter den Mangel melden und unter Fristsetzung auffordern die (berechtigten) Mängel zu beheben.

Die Funktionsfähigkeit der Türen, also das Verschließen ist ein Mangel und du kannst den Vermieter darum bitten, das zu beheben. Die Pflicht hat er gemäß §535 Abs 1 Satz 2. Das optische Erscheinungsbild ist wahrscheinlich kein Mangel, das wird es nur, wenn es ein extrem schlechter Zustand ist. Aber das vermag ich aus deiner Beschreibung nicht zu beurteilen.

Wenn die Türen nicht mehr einwandfrei schließen, kann das ein Mangel sein. Den müsstest du dem Mieter dann anzeigen und er ihn beheben.

Dass die Türen alt aussehen ist erstmal nicht die Sache des Vermieters, du hast sie ja so besehen und übernommen.

Türen kann man streichen .. Türen die schlecht schließen, kann man richten ...

Ab wann und in wie fern ist der Vermieter dafür zuständig?

Garnicht: Die Wohnung ist dir in genau dem schlechten Zustand der Zimmertüren vermietet und der notwendige Renovierungsbedarf des Anstrichs stellt insofern keinen Mangel n. § 536 I 1 BGB dar, den der VM zu beseitigen hätte.

Wenn man die Türen nach seinen Vorstellungen neu streichen möchte, müsste man dies auf eigene Kosten tun, sofern der VM nicht ausdrücklich vor Mietbeginn die Renovierung zugesichert hätte.

Holz ist ein natürliches Material, dass sich durch jahreszeitlich unterschiedl. rel. Luftfeuchte verzieht. Wenn sie deswegen nicht gut schließt, ist es eine "unerhebliche Minderung der Tauglichkeit [der Mietsache] zum vertragsgemäßen Gebrauch", die der VM n. § 536 I 3 BGB ebensowenig zu beheben hätte.

Auch dies müsstest du daher auf eigene Kosten richten lassen.

G imager761