Mieter will Kündigung nicht unterschreiben

Mal ganz langsam. Also:

Eine Kündigung ist eine empfangsbedürftige Willenserklärung. Das bedeutet im Klartext nur, dass die Kündigung dem Mieter ordentlich (und nachweisbar) zugestellt werden muss. Es besteht keine Notwendigkeit, dass der Mieter dieses Kündigungsschreiben gegenzeichnet, oder damit einverstanden sein muss. Praktisch reicht es aus, unter Anwesenheit eines neutralen Zeugen die Kündigung zu übergeben oder per Einwurfeinschreiben zuzustellen. Nächster Punkt: im Mietvertrag ist festgelegt, mit wievielen Personen die Wohnung genutzt werden darf. Eine Änderung bedarf immer auch der Anpassung im Mietvertrag - alleine schon wegen der Berechnung der Personenabhängigen Nebenkosten. Der Mieter darf natürlich Gäste beherbergen, aber maximal 6 Wochen am Stück. Anderenfalls wird die Wohnung nicht vertragsgemäß genutzt, was auch ein Kündigungsgrund sein kann.

Sie sollte die Kündigung unterschreiben, aber sie wollte nicht, […]

Klar, muss sie auch nicht. Der Vermieter kündigt zum ersten in drei Monaten (gesetzliche Frist, muss eingehalten werden), entweder ziehen die Mieter bis dahin aus oder widersprechen der Kündigung.

Außerdem haben sie ständig irgendeinen Besuch oben, es ist normal geworden, dass oben 5-7 Leute herumlaufen...

Der Besuch Deiner Mieter geht Dich nichts an, es ist prinzipiell erst einmal allein deren Sache, wer sie wann und wie lange besucht.

Deine Kündigung muss nicht vom Mieter gegengezeichnet, sprich unterschrieben werden. Wenn außer den im Mietvertrag bezeichneten Personen nun auch der Sohn und der Vater dauerhaft mit wohnen, ist das eine unerlaubte Gebrauchsüberlassung an Dritte. Du bist nach erfolgloser Abmahnung (Frist setzen, 14 Tage) berechtigt, fristlos zu kündigen. Siehe § 543 (2) Satz 2 BGB

Du solltest damit zur Polizei gehen, sonst ahst du solche Mieter ( Nicht immer nur Ausländer) ewig am Hals. Mal abgesehen davon, das sie wahrscheinlich gegen den gelten Mietvertrag verstoßen haben, ist es euer gutes Recht, wenn ihr wegen Eigenbedarf kündigt. Denkt dabei aber bitte auch an den Mieterschutz;-) Wenn du/ihr den Vertrag von der oben genannten Mutter unterschrieben zurück bekommen habt, dann ist sie alleine dafür verantwortlich, sie muss nicht ihren Mann dazu fragen, der weder im Mietvertrag steht, noch seine Unterschrift geleistet hat.

Na, hier ist ja allerhand los. Anhand deiner Beschreibung vermute ich mal, es handelt sich um ein Zweifamilienhaus. In diesem Fall kann ein Vermieter ohne Angabe von Gründen die Wohnung fristgemäß mit dreimonatiger Frist kündigen. Mit dem Eigenbedarf macht ihr es euch nur unnötig schwer. Den hättet ihr schließlich auch schon letztes Jahr erkennnen können. Das würde euch ein Richter unter die Nase halten. Für Mieter ist sowas nämlich auch ganz toll. Erst einziehen und dann, achherrjeh, wir haben ja Eigenbedarf. Mal unabhängig diese Aussage von der Qualität eurer Mieter. Wenn man vermietet sollten gewisse Grundregeln aber auch bekannt sein.