Mieter hat Stromleitung angebohrt - wer muss sich kümmern?

So wie mir die Sache aussieht, suchst du weniger den rechtlich einwandfreien, als vielmehr einen pragmatischen und unbürokratischen Weg. 

An dieser Stelle würde ich zuerst den Kontakt zum Mieter empfehlen. Es steht ja wohl ausser Frage, dass der Mieter (oder eben seine Haftpflicht-Versicherung, wenn er eine hat) für den Schaden aufzukommen hat. Daher würde ich ihn zuerst fragen, ob er selbst einen Elektriker auf seine Rechnung beauftragen will. Willigt der Mieter ein, ist die Sache für dich bis auf Weiteres erledigt. Du solltest nur zeitnah die Erledigung überprüfen. 

Will der Mieter sich nicht selbst darum kümmern, beauftragst du selbst einen Elektriker, gibst diesem die Telefon-Nr. deines Mieters und bittest ihn einen Termin auszumachen. Er soll dir nach Erledigung die Rechnung zukommen lassen, welche du dann dem Mieter präsentierst. Ob der Mieter dann selbst bezahlt, oder seine Haftpflicht-Versicherung ist für dich dann wiederum nebensächlich. 

Einen Elektriker in Deiner Nähe! Als Vermieter bist Du zunächst für die fachgerechte Ausführung in der Pflicht. Der Mieter muss es aber seiner Haftpflichtversicherung melden und er oder je nach Tarif  der Versicherung,müssen dafür aufkommen.

Fordere den Mieter auf, den Schaden von einem Fachmann reparieren zu lassen (Frist setzen) und dir den Vollzug zu melden oder du würdest bei  Verzug eine Firma beauftragen und von Ihm die Kosten einfordern. Es könnte an der Schadenstelle brunzeln und gewiss zu größeren Schäden kommen, wenn nicht fachmännisch die Unterbrechung versorgt wird.

Nur, bin ich als Vermieter in die Pflicht genommen oder kann ich mich da raushalten und meinen Mieter machen lassen?

Der Mieter muss den Mangel dem Vermieter anzeigen und der Vermieter beauftragt dann ein Unternehmen welches den Schaden dann behebt und dann fordert man Schadenersatz.

Man sollte den  Mieter fragen ob er eine Versicherung hat die den Schaden übernimmt und dann sollte man dieses darüber regeln.

Oder man redet mit dem Mieter und überlässt ihm die Beauftragung einer Firma; würde mich aber dann vergewissern, dass das fachgerecht gemacht wird und sich nicht irgendein Möchtegern-Handwerker darum kümmert.

Im Prinzip habe ich das Gleiche wie Interessierter geschrieben ohne dabei seine Antwort zu lesen und ich denke, das sind die besten Möglichkeiten für Dich.

Als Vermieter bist du erst mal in der Pflicht, dich um die Beseitigung des Schadens zu kümmern. Die Kosten kannst du aber dem Mieter auferlegen.