Darf mir der Vermieter den Umbau meiner Einbauküche verbieten?

Die Küche muss nach dem Auszug wieder in den alten Zustand versetzt werden ! Daher gibt es nur dann ein Problem, wenn dies durch die Art der geplanten Maßnahme ersichtlich nicht möglich ist. Mit anderen Worten, die Küche ist Eigentum des Vermieters und beschädigen darfst Du sie nicht. Einen Schrank auszubauen, den man später wieder einbauen kann, ist somit kein Problem !

Wenn Du beim Auszug die Küche wieder in den Zustand versetzt, in dem Du sie vorgefunden hast, kann nichts dagegen sprechen. Allerdings würde ich mich nicht darauf einlassen wollen, wenn die Küche mir nicht gehörte. Der Vermieter ist der "Boss" und sitzt auch am längeren Hebel. Ein klärendes Gespräch bei einer Tasse Kaffee kann da sicher helfen.

Ist ein "Grenzbereich" - wenn der Umbau ohne Beschädigungen funktioniert, darf der Vermieter aber ohne triftigen Grund das nicht verweigern

Nein. Während der Mietzeit darfst Du die Küche sogar komplett ausbauen. Du bist nur bei Ende des Mietvertrages zur Wiederherstellung des mietvertraglich vereinbarten Zustands verpflichtet.

Ich gehe mal davon aus, dass der Vermieter über sein Eigentum bestimmen kann. Mit der Miete hast du nur das Nutzungsrecht über diese Sache. Persönlich aber verstehe ich den Vermieter nicht.