Aktuellen Arbeitgeber verschweigen?

Hallo, ich hoffe jmd kann mir weiter helfen.

Ich arbeite seit 3 Monaten in einer neuen Firma. Hier sind mir aber schon etliche Dinge aufgefallen die rechtlich nicht in Ordnung sind. Dabei geht es um Steuern und auch andere Sachen. Für mich ist klar, ich will dort so schnell es geht weg. Aber ich will auch mit dieser Firma nicht in Verbindung gebracht werden und meinen Lebenslauf nicht mit dieser Haltestelle verlängern und belasten. Sieht ja nicht gerade toll aus so kurz nach Antritt schon zu gehen.

Nun war mein vorheriger Arbeitgeber ein guter Freund von mir und kann verstehen, dass ich aktuell so denke. Für ihn wäre es in Ordnung, wenn ich mich bewerbe und schreibe ich sei noch bei ihm tätig.

Ich weiß es ist nicht gut nicht ehrlich zu sein, allerdings war mir vorher nicht klar wo ich hier gelandet bin. Meine Frage: könnte ein neuer Arbeitgeber das mitbekommen? Wenn der mich anmeldet und ggf der alte Arbeitgeber mich nicht rechtzeitig abgemeldet hat, bekommt dieser doch nur die Info, dass ich bereits in Arbeit bin oder? Ich weiß auch dass ich mich bewerben kann und einfach nur allgemein meine aktuelle Branche schreibe. Aber es wäre mir eigentlich lieber wenn man nicht sieht, dass ich so schnell schon wieder wechseln möchte.

Liebe Grüße