muss der Vermieter die Kratzer an der Wohnungstür beseitigen?

Der Vermieter muss nur das reparieren, was vertraglich vereinbart wurde. Habt Ihr Euch vorab nicht über die Tür unterhalten und vereinbart, dass diese repariert wird, habt Ihr auch keinen Anspruch darauf.

Es heißt "gemietet, wie gesehen".

Meiner Meinung nach sollte er dies, da wir genau wie die Vormieter ca. 2000 euro Kaution für die Wohnung zahlen und solche Schäden werden doch durch die Kaution abgewickelt oder?

Woher willst Du wissen, dass der Schaden vom Vormieter verursacht wurde? Der Schaden befindet sich ja außen, so dass theoretisch jeder andere Mieter im Haus für die Beschädigung verantwortlich sein könnte.

Was können wir tun damit die Kratzer verschwinden?

Wenn möglich, die betroffenen Stellen lackieren.

diese Kratzer im Übernahmeprotokoll bestätigen lassen. Das ist Außenseite und sollte so weiter nicht stören. Ein Recht auf Beseitigung habt ihr nicht. Wie es der Vermieter abgerechnet hat ist belanglos.

Müssen diese Kratzer vom Vermieter behoben werden?

Das wurde Dir schon ausreichend beantwortet. Es hat nichts mit Deiner Kaution zu tun. Die Kratzer gehören ins Übegabeprotokoll und der Vermieter muss sie nicht beheben.

Was können wir tun damit die Kratzer verschwinden?

Ihr könnt nur den Vermieter bitten, dass er die Kratzer beseitigt. Argumentiert damit, dass ihr ungern eine Wohnung schön einrichtet und der Eingang bleibt hässlich. Außerdem könnt ihr argumentieren, dass eine solche x-förmige Beschädigung auch nach "Gaunerzinken" aussieht.

Allerdings dürft ihr nicht davon ausgehen, dass der Vermieter sofort aktiv wird. Wenn ihm das ganze Haus gehört, hat er es natürlich in der Hand, das umgehend auszubessern. Wenn er aber nur einer von mehreren Eigentümern der verschiedenen Wohnungen im Haus ist, muss sich die Hausverwaltung ggf. kümmern. Da die Kratzer aussen sind, gehören diese Flächen nicht zum "Sondereigentum", sondern zum Allgemeineigentum. Die Hausverwaltung könnte zum Beispiel darauf bestehen, dass die Beschädigung der verschiedenen Türrahmen in einem gemeinsamen Auftrag an einen Maler vergeben wird, um so Geld zu sparen. Das wiederum braucht einen Beschluss der Eigentümerversammlung, die nur einmal im Jahr stattfindet. Somit könnte es sein, dass die Ausbesserung erst in frühestens einem Jahr gemacht werden kann.

Grundsätzlich gilt aber: Wenn sich der Vermieter weigert und vielleicht auch auf eine Hausverwaltung verweist, die ebenfalls nichts unternimmt, dürft ihr selbst nichts machen und nichts verlangen. Da gilt gemietet, wie besichtigt.

Habt ihr ein Übernahme Protokoll gemacht und die Kratzer dort vermerken lassen ?

Das beseitigen der Kratzer ist Vermieter Sache. Ihr habt sie ja nicht verursacht.

Prinzipiell muss er das nicht "reparieren". Schließlich beeinträchtigt es die Wohnung nicht.
Ansonsten gilt: detailliertes Übernahmeprotokoll, am besten mit Fotos in seinem Beisein gemacht. Das schützt euch beide.