Kann ich als Privatperson in meinem Garten (1800m2) eine Kastenfalle (Lebendfalle) aufstellen, ohne gegen das Jagdrecht zu verstoßen?

Nein, so ohne weiteres darfst Du es nicht, wenn es sich um jagdbares Wild handelt, denn auch Dein Privatgrund wird sich in einem Jagdbezirk befinden. Schließ Dich mit dem zuständigen Jäger kurz.
Vor allem,  wenn Du keinerlei Erfahrung in der Fallenjagd hast - denn mit Unterstützung wirst Du erstens mehr Erfolg - und weniger Leid für das Tier haben.

Auch die Fangjagd ist Jagdausübung im Sinne des Bundesjagdgesetzes

(§1, Abs.4 BJG). Sie darf daher nur von Personen ausgeübt werden, die im Besitz eines gültigen Jagdscheins sind und eine Erlaubnis zur  Jagdausübung haben. In einigen Ländern gibt es für die Fangjagd besondere rechtliche Bestimmungen, so muss der Fangjäger in Bayern die Teilnahme an einem speziell anerkannten Fangjagdlehrgang nachweisen.

http://www.djz.de/ausbildung/756-fangjagd

Anschließend dann auswildern?

Gute Frage :)! Schau mal den Link! So einfach wie es klingt ist es nämlich nicht anscheinend! Kommt auf die Tiere an die Du fangen willst! Ich würde an Deiner Stelle mal beim Forstamt nachfragen, die könnten da bestimmt Tipps geben oder Dir einen Ansprechpartner nennen! Falls es jemand sieht oder Dich Nachbarn verpfeifen droht vielleicht eine Strafe!?

http://www.bubus-rattery.de/dokumente/aufstellen_von_lebendfallen.pdf

Ich will mich hier jetzt nicht drauf festnageln, aber wenn es sich bei dem Grundstück um dein befriedetes Besitztum handelt, solltest du das tun dürfen. Ich weiß allerdings nicht wie es jagdrechtlich aussieht/ weitergeht, wenn du was gefangen hast...