endet ein Mietvertrag, wenn der Mieter in ein Heim kommt?

Wie schon erwähnt, endet jeder Vertrag erst mit Kündigung.

Muss ein Mietvertrag aus gesundheitlichen Gründen gekündigt werden, entfallen trotzdem nicht die vertraglichen Verpflichtungen, wozu auch die Mietzahlungen gehört.

Weiterhin muss die Wohnung bei erfolgter Kündigung in einem vertragsgemäßen Zustand übergeben werden.

So hart wie das klingt, aber der Gesetzgeber sieht bei einem notwendigen Umzug in ein Pflegeheim keine Sonderregelungen vor, sondern behandelt diese, wie jede andere Kündigung auch.

Kann die Person weder für eine laufende Mietzahlung bis Mietende sorgen und die Wohnung nicht vertragsgemäß abgeben, hat der Vermieter das Recht die Forderungen gerichtlich geltend zu machen.

Selbst bei Tod würde der Vertrag nicht verfallen. hier bleibt der Vermieter - bei fehlenden Erben - nur auf seinen Kosten sitzen (Es sei denn das Nachlassgericht findet etwas verwertbares).

Hängt davon ab, ob noch etwas von ihm zu holen ist.

In jedem Fall einen Kostenplan über die Entrümelung, Renovierungs- und weitere mögliche Mietkosten mit einer Fristsetzung von maximal 14 Tagen per Einschreiben/Rückschein zusenden oder besser noch über einen Gerichtsvollzieher zustellen lassen.

Nein.

Ein Mietvertrag endet wenn er gekündigt wird.

wer trägt die Kosten für Entrümpelung / Nachzahlung?

Im Normalfall der Mieter.

Ja, natürlich. Wenn denn der Mieter Grundsicherung bekommt oder Hartz IV-ler ist. Denn das Amt bezahlt nur eine Unterbringung und der Vermieter hat die A-Karte und darf auf seine Kosten den Haushalt meist auch noch auflösen, so mir schon mehrmals passiert.

Nein, nicht automatisch. Er muss kündigen und die gesetzliche Kündigungsfrist einhalten und die Wohnung räumen und "normal" hinterlassen.