Nachzahlung an Pflegeheim?

Rechtlich einwandfrei ist die Forderung nur, wenn sie vorab angekündigt wurde (auch in der Höhe).

Ob das der Fall ist, kannst Du hier nachlesen:

https://www.biva.de/wann-muessen-heimbewohner-nachzahlen/

Unwahrscheinlich, dass ein Heim unberechtigte Forderungen stellt.

Und als Erbe erbst du auch die Verbindlichkeiten, musst also zahlen, auch wenn das Erbe dafür nicht ausreicht.