Darf ein Arbeitgeber den Firmenwagen, welcher der Arbeitnehmer nutzt, per GPS überwachen?

Dort wurde ihm auch ein Firmen Wagen zur Verfügung gestellt.

Für seine Dienstfahrten oder explizit auch für seine private Nutzung? Wenn der Wagen ihm nur für seine Dienstfahrten zur Verfügung steht, darf er damit auch keine Umwege privater Natur machen, was der AG durchaus über GPS überwachen / kontrollieren darf. Wenn es ein Firmenwagen ist, der ihm persönlich zugeteilt ist und den er auch privat nutzen darf (entsprechend als Gehaltsbestandteil versteuert wird), kann Dein Bruder die GPS-Überwachung untersagen.

Ja, wenn der Mitarbeiter darüber informiert wird! Das ist sogar üblich und wird meist damit begründet, dass der vorhandene Fuhrpark auf diese Weise effizienter ausgenutzt werden kann und unnötige Leer- oder Fehlfahrten vermieden werden können.

Ja, sicher ist es erlaubt, dass Fahrzeug gehört dem Chef und nicht Deinem Bruder. Der Chef bezahlt doch die Versicherung und Steuern, also hat er ein Recht dazu. Wenn es dem Bruder nicht passt, dann sollte er sich ein eigenes Fahrzeug zu legen.

Solange der Wagen dienstlich benutzt wird, ja. Wenn Dein Bruder das Auto auch privat nutzen darf, ist das nicht mehr zulässig - falls Dein Bruder das nicht ausdrücklich gestattet.

Wenn er arbeitet, dann schon. Wenn er es für Private Zwecke nutzen möchte das Auto, dann darf er das nicht mehr.