Wenn ich anfangs des Monats den Tüv mach, bis wann gilt er?

Gilt alles nur wenn du noch rechtzeitig mit TÜV dran bist. Ist dein TÜV schon abgelaufen gelten die neuen 2 Jahre ab dem Zeitpunkt wo TÜV abgelaufen ist.

Hi, wenn Du irgendwann im Mai (auch an dessen letzten Tag) hingehst, und an diesem Tag die HU ausgeführt wird, gilt die genau 2 Jahre. Du würdest dann 5/2021 aufs Auto gepappt bekommen.

Der Tag der Hauptuntersuchung gilt auch, falls die Nachuntersuchung in den nächsten Monat geht:

Beispiel: heute ist der 30.04. gehst hin, bestehst nicht. Lässt die Mängel reparieren, dafür hast Du ja dann 1 Monat Zeit.
Dann gehst Du in 2 Wochen zur Nachuntersuchung und bestehst. Auch wenn die Plakette dann im Mai zugeteilt würde, kriegst Du in diesem Fall dennoch 4/21 aufs Auto gepappt.

Es verbleibt der Kalendermonat, wenn du heute gehst verbleibt April 2021

Immer der Monat in dem du den TÜV machst, egal ob es der 02.05 ist oder der 31.05. es gilt dann "Mai" für 2 Jahre

Die HU-Plakette gilt bis zum Ende des Prüfmonats in zwei Jahren, also bis zum 31.05.2021, wenn Du im Mai 2019 die Plakette bekommst.