Übernimmt eine Hausratversicherung einen schaden am Waschbecken?

Nein. Die Hausratversicherung kommt dafür nicht. Schließlich war es keine versicherte Gefahr, die zum Schaden geführt. Das wären z. B. ein Feuer oder Vandalismus nach einem Einbruch der Fall gewesen. So musst Du leider allein dafür aufkommen.

Ausnahme: Du bist Mieter und hast eine private Haftpflichtversicherung, in der auch Mietsachschäden mit abgedeckt sind. Wenn ja, den Schaden dort melden.

Da wirst Du wohl allein dafür aufkommen müssen. - es war ja kein Aussenstehender beteiligt. Außerdem wäre es eher eine Sache für die Haftpflichtversicherung.

Wem gehört das Waschbecken? Dir oder dem Vermieter? Beim Vermieter wäre es dann eine Sache der Haftpflicht