Müssen US-Präsidenten bei der Amtseinführung auf die Bibel schwören?

Nein. Ist freiwillig. Genauso wie in Deutschland. Wer es sagen will, sagt es, wer nicht, lässt es weg. In den USA ist es meist Tradition, dass man es sagt, selbst ein Donald Trump. 

Rechtlich gesehen ist, wie du bereits ahnst, das schwören auf eine (oder, wie bereits mehrfach geschehen, mehrere) Bibel(n) keine Pflicht.
Faktisch aber ist das Bekenntnis zum Christentum und zur Schau Stellung des Glaubens eine wichtige Voraussetzung um auch nur die Chance auf eine Wahl oder den Antritt in den finalen Wahlen.
Das ist zum einen finanziell, viele große Geldgeber hängen Kirchen an oder stehen diesen Nahe oder sind Kirchen selbst die Spenden für den Kandidaten sammeln, zum anderen Wählertechnisch. Es ist in den USA nicht unüblich das Pastoren und Prediger sich öffentlich für einen Kandidaten aussprechen und damit zumindest einen Großteil ihrer Anhänger zur entsprechenden Wahl motivieren.

Desweiteren ist der Einfluss von christlichen Kirchen und das kulturelle Selbstverständnis als christliche Nation in den USA so stark, dass gegen die christlichen Wähler wahrscheinlich keiner US Präsident werden kann.
Ob die Präsidenten bisher oder aktuell wirklich gläubig sind ist nebensächlich, es geht um die Show, die Aufrechterhaltung der moralischen Werte und die Unterstützung der amerikanischen mega-churches.

Aus Wikipedia:

Nach Art. II, Sec. 1 der Verfassung der Vereinigten Staaten leistet der Präsident bei Amtsantritt folgenden Eid (Oath of office of the President of the United States):

“I (Name) do solemnly swear (or affirm) that I will faithfully execute the Office of President of the United States, and will to the best of my ability, preserve, protect and defend the Constitution of the United States.”

„Ich, [Name], schwöre [oder bekräftige] feierlich, dass ich das Amt des Präsidenten der Vereinigten Staaten getreulich ausführen und die Verfassung der Vereinigten Staaten nach besten Kräften wahren, schützen und verteidigen werde.“

Eine religiöse Bekräftigung ist nicht obligatorisch, aber in Form von So help me God („So wahr mir Gott helfe“) üblich.

Auf welches Buch dieser Amtseid geleistet wird - siehe hier:

https://scilogs.spektrum.de/natur-des-glaubens/der-eid-des-pr-sidenten/

Die Bibel ist also nicht zwingend erforderlich!

Wichtiger ist zu klären, wie die entsprechenden Präsidenten dann im weiteren mit ihren Amtseiden umgegangen sind! 

Das betrifft auch die deutschen Amtsträger, die nach ihrem Inaugurationseid die Schwurhand heben und nuscheln:

"So wahr mir Gott helfe!"

Ob eine Person gläubig ist, oder nicht, wird man objektiv nie prüfen könne.

Aber eine Person die sich öffentlich als Atheist darstellt, wird in den USA auf absehbare Zeit nicht Präsident werden können.  

Auch wenn in der Verfassung kein Gottesbezug ist.

Nein er muss nicht auf die Bibel oder irgendwelche Götter schwören, die Religion des Präsidenten spielt keinerlei Rolle. Der Amtseid des Präsidenten ist in der Verfassung vorgegeben und lautet:

"I (Name) do solemnly swear (or affirm) that I will faithfully execute the Office of President of the United States, and will to the best of my ability, preserve, protect and defend the Constitution of the United States"

Kein Wort von Bibel, Gott oder sonst etwas.