kann man nach der Kündigung der Wohnung absagen und alten Mietvertrag ohne Änderung von Kosten behalten?

Das liegt im Ermessen des Hauseigentümers.

Er kann auf der Kündigung bestehen, weil er ja evtl. schon einen Nachmieter hat oder eine Sanierung der Wohnung in Auftrag gegeben hat.

Wenn die Wohnung in einer Gegend ist, wo sich schwer vermieten lässt, wird er sich vielleicht darauf einlassen. Wenn die Gegend gefragt ist und er noch keine anderen Mieter hat, kann es gut sein, dass er einen neuen Mietvertrag mit höherer Miete anbietet

ohne Änderung von Kosten 

Wenn man bedenkt, wie schwierig es sein kann, eine Miete mal um ein paar oder ein paar mehr Euro zu erhöhen, halte ich das für unvorstellbar.

Es sei denn, Dein Vermieter liebt Dich heiss und innig und möchte Dich am liebsten nie mehr her geben.

Die Frage ist vor allem, wie lange Du schon in der Wohnung wohnst und wie lange schon keine Miete mehr erhöht wurde.

Meiner Erfahrung nach schadet es überhaupt nicht, wenn alle paar Jahre die Mieter wechseln. Bei der Gelegenheit werden evtl. aufgetretene Schäden mal wieder beseitigt und auch sonst die Wohnung instand gesetzt und man kann die Miete wieder recht leich an die neuen Marktverhältnisse anpassen.

Gut gepflegte Wohnungen in einem guten Umfeld lassen sich immer leicht vermieten, auch wenn es Gegenden mit viel Leerstand gibt, werden auch dort gute Wohnungen gerne genommen. Kommt eben darauf an.

Das solltest Du mit Deinem Vermieter besprechen.

Klar, wenn der Vermieter sich darauf einlässt - muss er aber nicht

Das hängt davon ab, wie fair und kulant der alte Vermieter ist. Gekündigt ist nun mal gekündigt, das ist ein einseitiges Rechtsgeschäft.

Kann also sein, dass er nein sagt, weil die neuen Mieter in den Startlöchern stehen, kann sein, dass er eine Mieterhöhung durchzieht.

Fragen kostet nichts, aber mit einem "Geht nicht" solltest du rechnen. Blöde wird's dann, wenn du keine neue Wohnung hast. Wie das ausgehen würde, kann ich dir leider nicht beantworten.