Je nachdem um welche Versicherung es sich handelt. Tritt der Leistungsanspruch erst ein, wenn ein Schaden entsteht und du solange versichert bist wie du einzahlst, so wird wohl keine Schufa-Auskunft stattfinden, sondern wenn du nicht mehr bezahlst, so hast du keinen Schutz mehr.

Seit April hat jeder Bundesbürger einmal im Jahr das Recht, kostenlos eine Schufa-Auskunft über sich selbst einzuholen. Dafür musst du ein Formular ausfüllen und an die Schufa schicken (das Formular findest du auf der Schufa-Seite). Da siehst du dann genau, wie dein Schufa-Score ist und was du nicht gezahlt hast ;)

Wenn der Vermieter nicht zustimmt und sein Geld am Anfang des Monats haben möchte, so kannst du nicht viel tun. Rechtlich hast du nämlich dann den kürzeren gezogen. Denn wenn der Mieter darauf beharrt, so muss die Miete im Voraus bezahlt werden. Das einzige was du machen kannst, ist einfach nett zu fragen und auf Verständnis hoffen.