Knobelaufgabe, Frage zur Herleitung?
Also es geht um Folgende Knobelaufgabe:
"Ein Auto ist siebenmal so alt, wie die Reifen waren, als das Auto so alt war, wie die Reifen jetzt sind. Wenn die Reifen so alt sein werden, wie das Auto jetzt ist, dann sind Auto und Reifen zusammen 51 Jahre alt.
Wie alt sind Auto und Reifen jetzt?"
WER SELBER RÄTSELN MÖCHTE NICHT WEITERLESEN!, meine Frage kommt später...
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I : A=7(R-(A-R))
II : 51=R+A+2(A-R)
A=7(2R-A)
A=14R-7A I+7A
8A=14R l:8
A=1,75R
in II:
51=R+1,75R+2(1,75R-R)
51=2,75R+2*0,75R
51=2,75R+1,5R
51=4,25R l:4,25
12=R
in I:
A=1,75*12
A=21
Wenn man dieses Gleichungssystem auflöst, kommt man auf das Ergebnis, dass das Auto 21 Jahre alt ist und die Reifen 12 Jahre alt sind.
Aber Kann man aus dem Text die Formel wie in I entnehmen? Im Text steht ja lediglich, dass das Auto so alt war, wie die Reifen jetzt sind...
...und nicht, dass das Alter der Reifen um die Differenz des Alters von Auto und Reifen jünger war. (Wie es in der Formel ist)
Meine Frage ist nun: "Kann man die erste Formel aus dem Text entnehmen, oder war es nur ein glücklicher Zufall, dass die Formel auch zum richtigen Ergebnis führt?... falls die Formel inkorrekt ist, wie würde die richtige aussehen?"
Ich hoffe man kann meine Frage verstehen. Es ist ziemlich schwer das Problem zu beschreiben😂.
3 Antworten
Tipp vorab: Es ist sofort nahe liegend, anhand der Formulierung des Problems, dass es hilfreich sein wird, wenn man seine sprachlichen Mittel ergänzt, damit man sich auf die Zeitpunkte explizit beziehen kann. Das ermöglich, dass man differenziert und klarer die Verhältnisse zum Ausdruck bringen kann.
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Bezeichne mit A(t) bzw. R(t) das Alter des Autos bzw. der Reifen zum Zeitpunkt t. Bezeichne mit t₁ den Zeitpunkt, der „jetzt“ entspricht. Bezeichne mit t₀ (< t₁) den Zeitpunkt von „damals“ als das Auto so alt war, wie die Reifen jetzt sind. Bezeichne mit t₂ (> t₁) den „zukünftigen“ Zeitpunkt, wann die Reifen so alt sein werden, wie das Auto jetzt ist. D. h.
1... A(t₀) = R(t₁)
2... R(t₂) = A(t₁)
Darum bedeuten
Ein Auto ist siebenmal so alt, wie die Reifen waren, als das Auto so alt war, wie die Reifen jetzt sind
Bed. II... A(t₁) = 7·R(t₀)
und
Wenn die Reifen so alt sein werden, wie das Auto jetzt ist, dann sind Auto und Reifen zusammen 51 Jahre alt.
Bed. I... A(t₂) + R(t₂) = 51
Nun gilt allgemein
(AP)... A(t´) – A(t) = R(t´) – R(t) = t´– t für alle t, t´ ∈ ℝ
weil der Alternprozess linear ist. Die erste Bedingung lässt sich wie folgt vereinfachen:
R(t₀) = R(t₁) – (t₁–t₀) wegen AP
= R(t₁) – (A(t₁)–A(t₀)) wegen AP
= R(t₁) – (A(t₁) – R(t₁)) wegen 1 *** ⟵ das suchst du ***
= 2R(t₁) – A(t₁)
⟹ mittels Bed I
4... A(t₁) = 7·R(t₀) = 7(2R(t₁) – A(t₁))
Daraus ergibt sich R(t₁) = 4/7 · A(t₁).
Bedingung II wird wie folgt behandelt:
A(t₂) = A(t₁) + (t₂–t₁) wegen AP
= A(t₁) + (R(t₂)–R(t₁)) wegen AP
= A(t₁) + (A(t₁)–R(t₁)) wegen 2
= 2A(t₁) – R(t₁)
⟹ mittels Bed II
5... 51 = A(t₂) + R(t₂) = A(t₂) + A(t₁) wegen 2
= 3A(t₁) – R(t₁)
Daraus folgt 51 = (3 – 4/7)·A(t₁), also A(t₁) = 51·7/17 = 21 und damit R(t₁) = 4/7 · 21 = 12.
Ach Mist. Versuchs auf deinem Rechner oder im Browser auf deinem Handy. Da sind 3 Zeitpunkte t0, t1, t2. Ich setzte Sonderzeichen ein, die dein Handy nicht anzeigen.
Ich gucke nachher mal aufm PC. Aber schonmal vorab danke, dass du dir die Zeit genommen hast. (Bin gerade im Handybrowser)
"in I:
A=1,75*12
A=21"
Habe in der Frage ein * vergessen (falls die Frage nicht überarbeitet wird)
Demnach müsste das Auto sieben mal älter sein als die Reifen. Das kann ich aus dem 1. Satz ableiten.
Bei mir sehen leider alle Formel so aus:
R(t□) – (A(t□)–A(t□)) das führt zu etwas Verwirrung.