Wohnmietvertrag über Whatsapp abschließen?

Nein, Du hast die Wohnung nicht sicher, denn Deine Antwort könnte auch lauten, "in einem halben Jahr".

Ein Chatverlauf ist ansonsten kein gerichtsfester Beweis.

Erkläre dem Vermieter, wann Du einziehen willst und frag ihn, ob das passt. Wenn er auch das bestätigt, hast Du zumindest mal so etwas, wie einen mündlichen Mietvertrag geschlossen, der zwar nicht zu 100 Prozent von vornherein bewiesen ist, aber evtl. würde ein Gericht nach Beurteilung des Chatverlaufs auch anerkennen, dass damit ein mündlicher Vertrag geschlossen wurde.

Am besten kümmerst Du Dich darum, dass Du die Zusage bzw. einen echten Mietvertrag schriftlich bekommst.

Es besteht noch kein Vertrag, da wesentliche Bestandteile noch nicht vereinbart sind.
Entsprechend könnte der Vermieter noch an jemand anderen vermieten.

Hast du die möglicherweise vorher genannten Bedingungen wie Schufa-Selbstauskunft, Nachweise für dein Einkommen etc. bereits geleistet?

Wenn es dir wirklich so wichtig ist, ruf ihn an und frage, wann du vorbeikommen kannst um den Vertrag zu unterschreiben, am besten sofort und nimm alles mit, was noch fehlt.

Abschließen geht, kündigen geht nicht, dazu ist Schriftform nötig.

Verabreden Sie mit dem Vermieter einen Termin zur Unterzeichnung des Mietvertrages, zu dem Sei dann auch eine Selbstauskunft mit Einkommensnachweisen und eine Schufa-Auskunft vorlegen können..