Wie kommt es ,dass das Jugendamt zu sowas rät? Dürfen die das überhaupt?

Deine Frage, wie es kommen kann, dass das Jugendamt deiner Mutter einen solchen Rat gibt kann ich mir nur so erklären, dass deine Mutter alle Möglichkeiten ausgeschöpft hat, aber deine Kompromissbereitschaft eher marginal war.

Also sagt das JA, dass deine Mutter alles getan hat und ihre Mutterpflichten damit ausreichend erschöpft sind., und sie aus Selbstschutz die Mutter-Tochterbeziehung beenden darf.

Eine Mutter muss schon ganz schön am Ende mit den Nerven sein, wenn sie das Handtuch wirft.

Du schreibst auch mit keinem Wort, welches die Streitthemen waren und von welcher Seite was gesagt/getan wurde, dass es zu so einem eklatanten Bruch kommen konnte.

Nur, dass es dir wegen der Wohnung wichtig sei, dort zu bleiben und du keinen Bock auf (Umzugs?) Stress hast.

Für mich liest sich das, als würde es dir an Empathie mangeln. Ob das jetzt pubertätsbedingte oder psychotpatologische Ursachen hat, weiß ich natürlich nicht. Aber das solltest du für dich selber vielleicht einmal hinterfragen.

Hast du dir mal Gedanken darüber gemacht wie sich deine Mutter mit dir fühlen muss, wenn sie lieber einen Umzug und Neuanfang in Kauf nimmt, anstatt mit dir weiter zusammen leben zu wollen? Da musst du ihr das Leben schon zur Hölle gemacht haben, wenn sie sich dazu entschließt.

Und ja, deine Mutter kann tatsächlich die Sorgschaft abgeben wenn sie alles versucht hat und die Sorge dem Amt übertragen. Es reicht aus, wenn sie nicht mehr mit dir fertig wird und ihre seelische Gesundheit auf dem Spiel steht.

Das Sorgerecht ist kein Hemd oder Rock, die man beliebig wechseln kann, nur weil Deine Mutter einen Flitz im Kopf hat.
Über das Sorgerecht befinden die Familiengerichte, nicht Deine Mutter.

Regelmäßig wird das Gericht das Jugendamt als Sachverständigen hinzuziehen und Deiner Mutter ein paar deutliche Worte erklären, dass ihr die Ohren klingeln.
Dein Vater würde ebenso vom Familiengericht gehört und Du ebenso.

Im Streitfall wird das Gericht die einen Rechtsbeistand (Anwalt) zuweisen, da vor den Familiengerichten Anwaltszwang herrscht.

Am Ende der Fahnenstange wird das Gericht Deiner Mutter eine Halskrause flechten, nur nicht nach Schönheit oder gefällt mir.

Die erste Frage die sich mir stellt, wie alt bist Du? Denn davon hängen viele gesetzliche Entscheidungen ab. 

Ich gehe aber leider davon aus, dass das was deine Mutter vorhat, den gesetzlichen Bestimmungen konform wird, schließlich hat Sie ja nach deinen Angaben das "Ok" vom Jugendamt. 

Tut mir leid für dich, mach das beste daraus.

Mein Tipp:

Schaut mal woran es liegt das Ihr Euch dauerhaft streitet, es ist schade wenn Familien, gerade Mutter und Kind, den Draht zueinander verlieren. Schließlich bist Du das Fleisch und Blut deiner Mutter, sie hat dich ausgetragen und großgezogen. Versucht mal eine Therapie, gibt viele Anlaufstellen um derartigen Konflikte zu beseitigen bzw zu klären.

Sie kann jederzeit das Sorgerecht abgeben und dem Vater ganz überlassen.

Wenn das geregelt ist, hat sie keine Verantwortung mehr dir gegenüber. Wenn du minderjährig bist, musst du dann zu deinem Vater, weil du ja noch teilweise beaufsichtigt werden musst und noch nicht alle Entscheidungen selbst treffen kannst/darfst.

Ja das geht, aber in der Wohnung kannst du nicht bleiben. Du musst dann (je nach alter) zu deinem Vater oder in eine Jugend-WG etc.