Wann muss genannte Person spätestens einziehen?

Die "genannte Person" konnte nicht kündigen, bevor nicht sicher war, dass Du auch wirklich ausziehst. Nachdem es im Lauf des September klar wurde, dass Du die Wohnung bis Ende September räumst, konnte "genannte Person" auch kündigen. In der Regel mit einer Frist von 3 Monaten, also jetzt bis zum Jahresende.

Diese Zeit wird "genannte Person" nutzen, um die Wohnung nach seinem/ihrem Geschmack herzurichten, die entsprechende Einrichtung zu beschaffen (Lieferzeiten!) und dann wird sie wohl in aller Ruhe alles einrichten und so gegen Jahresende auch umziehen.

Du hättest nicht länger in der Wohnung bleiben dürfen, denn Dir wurde zu einem bestimmten Zeitpunkt gekündigt und dieser hängt nicht davon ab, wann genau "genannte Personen" auch wirklich einziehen wollen.

Stell Dir vor, es handelt sich um Sohn oder Tochter des Vermieters, die vorhaben, irgendwann im nächsten Jahr zu heiraten oder es wird Nachwuchs erwartet und man will bestmöglich für diesen Termin gerüstet sein.

Da ist dann erst einmal Kündigung und Auszug des Mieters abzuwarten, denn erst dann ist klar, ob man überhaupt problemlos in die Wohnung kommt. Dann werden Termine festgelegt, bzw. auf einen evt. Geburtstermin hin, der vielleicht erst in einem halben Jahr ist, die Wohnung zum Einzug vorbereitet.

Da hast Du ganz schlechte Karten.

Außerdem schrieb ich Dir bereits:

Mach Dir keine großen Hoffnungen. Vermieter, die auf diese Weise (noch dazum it RA im Rücken) ihre Mieter los werden, sichern sich sehr gut ab. Da hast Du kaum eine Chance.

Das nennt man Vorratskündigung und das ist unzulässig.

Genaueres siehe hier:

http://www.mietrecht.org/eigenbedarf/eigenbedarf-fristen-und-termine/

Du kannst es drehen und wenden wie du willst und noch so sehr nach Gründen suchen, du hast keinen Anspruch auf Schadensersatz. Es kann hundert Gründe geben, warum der neue Mietr nicht im Anschluss an deinen Auszug eingezogen ist. Einer davon wäre eine komplette Renovierung der Wohnung. (Siehe Antwort von anitari)

Du suchst krampfhaft nach einem Grund für eine Schadensersatzforderung.

Wann die Person einzieht ist nicht geregelt; aber SIE muss zeitnah. Das Warum können ganz banale Gründe haben, Fristversäumniss bei der Kündigung! Damit werden doppelte Mietzahlungen vermieden. Wohnung wird renoviert.

sollte sich jedoch rausstellen, dass eine andere Person einzieht; dann hast du Schadensersatzansprüche geltend machen.

Mehrere Möglichkeiten können die Ursache sein.

1. Die besagte Person kommt nicht früher aus ihrem Mietvertrag raus.

2. Ein evtl. Arbeitsvertrag kann nicht früher beendet bzw. ein neuer begonnen werden.

3. Die Wohnung soll erst noch renoviert oder gar umgebaut werden.