Vertragsänderung ohne Unterschrift gültig?

Der urspruenglich beabsichtigte Vertrag ist vermutlich nicht zustande gekommen und der Auftraggeber hat dir durch die Aenderung ein neues Vertragsangebot unterbreitet. Dieses kannst du jetzt annehmen, ablehnen oder weiter mit dem Auftraggeber verhandeln.

Die Vertragsannahme kann allerdings auch durch sog. "schluessiges Handeln" erfolgen, also beispielsweise dadurch, dass du die gewuenschte Leistung nach dem Erhalt des neuen Vertragsangebots erbringst bzw. bereits erbracht hast. Ebenso koennte der urspruengliche Vertrag bereits durch den Auftraggeber angenommen worden sein, wenn dieser die Leistung vor der Unterbreitung des neuen Vertragsangebots (aber nach der Unterbreitung des urspruenglichen Vertragsangebots) angenommen hat.

Nein, es liegen zwei nicht übereinstimmende Willenserklärungen vor. Wenn du den Vertrag nicht akzeptieren willst, fichst du ihn an wegen der nachträglichen Änderung. Zur Sicherheit sollte man das aber schriftlich machen ("Ich akzeptiere die handschriftliche Änderung der Laufzeit nicht, der Vertrag ist nichtig.") Wenn du ihn akzeptieren willst, würde ich das nochmal kurz klar stellen, nach dem Motto "Die Nachträgliche Änderung der Laufzeit auf XYZ werde ich so akzeptieren."

Nachträgliche Änderungen sollten formal idealerweise entweder durch ein neues Ergänzungsblatt nochmals mit Unterschrift ergänzt werden oder man setzt, wenn man das nicht machen will, beispielsweise ein Sternchen neben die Änderung und ergänzt handschriftlich (und mit zweiter Unterschrift) "Handschriftliche Änderung XYZ wird zusätzlich vereinbart"

Klares nein.