Vermieter lehnt alle Nachmieter ab, rechtens?

Ja, kann er. 

Er ist nicht verpflichtet, einen von dir vorgeschlagenen Mieter zu nehmen. Seine Miete bekommt er ja trotzdem. 

Das ist Pech für dich. Ist aber leider Gang und Gäbe. 

Meine Tochter musste damals acht Nachmieter anbieten, bevor die Vermieterin einen akzeptierte. 

Ja, das darf er.

Er gibt kein Recht einen Nachmieter zu stellen um somit früher aus dem Mietvertrag zu kommen.

Das wäre reine Kulanz vom Vermieter.

Kann der Vermieter wirklich alle von mir geworbenen Interessenten ablehnen

Ja, das ist sein gutes Recht.

Kein Vermieter muss Verträge mit potentiellen Mietern eingehen, wenn sie ihm nicht zusagen.

Er kann alle ablehnen und muss es nicht einmal begründen. 

Du gibst natürlich Schlüssel erst am letzten Tag ab.

Hier mal was zu Besichtigungen und Deine Rechte und die des Vermieters:

http://www.mietrechtslexikon.de/a1lexikon2/b1/besichtigung.htm

... bestimmt.

Schaue einfach in Deine mietvertraglichen Vereinbarungen, was Du da zu diesem Thema so vereinbart hast.