Schaden an KFZ Versicherung gemeldet, danach Auto abgemeldet, dann Rechnung an Versicherung senden obwohl schon abgemeldet?

Also mein Auto hat einen Schaden und ich werde es gleich der Versicherung melden, damit die den Schaden übernehmen (Ölverlust und Bereinigung des Öls durch die Feuerwehr). Danach möchte ich mein Auto sofort verkaufen, heute noch und es wird dann die nächsten Tage vom Käufer abgemeldet. Aber ich sende denen dann noch die Rechnung für den Feuerwehreinsatz zu. Ist das eine schlaue Idee, oder sagen die dann, "Ja wieso, sie haben es ja schon abgemeldet, wir zahlen nichts mehr.". Normalerweise zahlen die noch, den Schaden habe ich ja gemeldet, als ich noch versichert war, oder? Oder habe ich einen Denkfehler und sollte ich besser mit dem Verkauf warten, bis die mir die Rechnung erstattet haben?