Nebenjob während verletztengeld gezahlt wird?

Ja.

"Ver­sto­ßen Ar­beit­neh­mer wäh­rend ei­ner Krank­schrei­bung ge­gen die Pflicht, sich "ge­ne­sungs­för­der­lich" zu ver­hal­ten, ris­kie­ren sie ei­ne ver­hal­tens­be­ding­te Kün­di­gung." So hast du es ja ach schon vermutet.

https://www.hensche.de/Kuendigung_Nebentaetigkeit_Krankheit_Kuendigung_wegen_Nebentaetigkeit_trotz_Krankheit_LAG_Koeln_11Sa915-12.html

Das LAG Köln (Urteil vom 16.10.2013 – 11 Sa 915/12) hat entschieden, dass kleinere Nebenjobs die Heilung kaum gefährden, so dass eine fristlose Kündigung wegen genesungswidrigen Verhalten unzulässig ist.

Aber Vorsicht:

Der Arbeitgeber hatte einem krankgeschriebenen Beschäftigten, der während seiner Arbeitsunfähigkeit (wegen gesundheitlicher Folgen von Mobbing am Arbeitsplatz) nachtsüber seinem Nebenjob als DJ nachgegangen war und dabei Alkohol konsumiert hatte, fristlos gekündigt. Der Arbeitnehmer erhob Kündigungsschutzklage, das Gericht allerdings entschied, dass die Kündigung rechtmäßig sei. Das Gericht beurteilte die Nachtarbeit und den Konsum von Alkohol als nicht gesundheitsfördernd – vor allem nicht bei einer Krankschreibung aufgrund von psychischen Problemen.

https://www.nebenjob.de/ratgeber/3392-trotz-krankschreibung-im-nebenjob-arbeiten-und-geld-verdienen-darf-ich-das