Nachdem ich vor einigen Wochen einen Erbschein beantragt habe bekam ich nun die Rechnung. Bekomme ich erst nach der Begleichung dann den Erbschein?

Genauso ist es, erst Geld, dann Erbschein.

das wird erst mal geprüft ob der Anspruch  zu Recht besteht, das kostet halt. Kann sein, dass der Erbschein kommt, aber die Rechnung must zahlen.

Ja so ist es. Auch für das Amtsgericht gilt: Erst das Geld und dann die Ware (Erbschein).