Muss ich meinem neuen Arbeitgeber sagen, dass ich bereits einen Nebenjob habe?

Nebenjobs sind in der Regel zwar nicht genehmigungspflichtig, aber in den meisten Arbeitsverträgen und/oder Tarifverträgen ist vorgesehen, dass sie angezeigt werden müssen.

Warum? Schließlich möchte kein Arbeitgeber jemanden beschäftigen, der sein Know-how in einem Nebenjob bei der Konkurrenz anwendet oder vor lauter Nebenjob nicht mehr in der Lage ist, seiner Arbeitsverpflichtung nachzukommen.

In deinem Fall musst du auch aufpassen, dass du während des Semesters, also in der Vorlesungszeit, mit deinen beiden Jobs nicht über 20 Wochenstunden kommst, weil du sonst nicht mehr als Werkstudent arbeiten kannst und voll sozialversicherungspflichtig wirst.

Ja.

Würde er spätestens bei der Anmeldung in ELStAM ohnehin erfahren, wenn der aktuelle Nebenjob auf Steuerklasse läuft.

Denk dran, dass du in Summe nicht mehr als 20 Stunden pro Woche arbeiten darfst um weiter hauptberuflich als Student eingestuft zu werden.

Gesetzlich ist in der Regel nichtmal eine Meldepflicht für Nebentätigkeiten vorgesehen, diese kann (und wird in der Regel) im Arbeitsvertrag vereinbart.

Wie Du allerdings darauf kommst, dass sowas entfallen könnte, weil Du den Haubtjob erst nach dem Nebenjob antrittst, ist mir schleierhaft. Ach hat der Arbeitgeber rechtlich nur sehr eingeschränkte Möglichkeiten Nebenjobs zu untersagen.

Wenn im Vertrag steht, dass du ihn informieren musst - ja.

Ansonsten - nein. 

Im Vorstellungsgespräch schon gleich zweimal nicht ;)

Ja, du solltest deinen AG informieren. Informieren reicht - eine Genehmigung ist nicht notwendig.