Muss ich eine Handwerkrechnung bezahlen, wenn die Arbeiten noch nicht abgeschlossen sind?

Guten Tag, ich habe folgendes Problem. Der Schornsteinfeger hatte im letzten Jahr die Abgasmessung meiner Therme durchgeführt. Dabei wurde festgestellt, dass die CO-Werte viel zu hoch waren. Er empfahl darauf eine Wartung durchführen zu lassen. Ich beauftragte somit eine Heizungsfirma damit. Die führten auch eine Wartung durch, konnten den zu hohen CO-Wert aber nicht beseitigen. Der Monteur meinte darauf, dass die Fehlerquelle nur das Abgasrohr sein könnte. Es wurde darauf ein Kostenvoranschlag in Höhe von 1300€ für den Austausch des Abgasrohrs gestellt. Ich rief dann bei der Firma an und wollte wissen, ob das wirklich der Grund für den hohen CO-Wert sei. Die Dame bestätigte mir das am Telefon unter Rücksprache mit einem Mitarbeiter. Ich stimmte dann dem Austausch zu. Darauf wurde dann im November letzten Jahres das Abgasrohr komplett erneuert. Die Therme hatte darauf noch schlechtere Werte. Der Monteur meinte dann, er müsse das mit seinem Chef klären. Ich unterschrieb den Arbeitszettel, in dem vermerkt war, dass die Arbeiten noch nicht abgeschlossen waren. Bis zum heutigen Tag wurden keine weiteren Maßnahmen seitens des Betriebs durchgeführt. Auch habe ich bislang keine Rechnung erhalten. Ich habe mehrfach bei der Firma angerufen, um zu wissen, wie es denn nun weitergeht. Die meinten dann "Jetzt kann es nur noch der Brenner sein". Ich akzeptierte diesen Lösungsvorschlag nicht, da ja im Vorfeld das Abgasrohr als Verursacher ausgemacht wurde. Ich schlug daher vor, dass der Installateur ein Gebrauchtteil besorgt, um das zu testen. Ich habe dann aber immer noch nichts mehr gehört. Wie soll ich mich nun verhalten? Meine Therme läuft noch bis zur nächsten Schornsteinfegermessung im Sommer 2019. Wenn der Betrieb sich nicht mehr meldet, kann ich dann eine andere Firma beauftragen? Muss ich eine kommende Rechnung vom bisherigen Betrieb bezahlen, obwohl die Arbeiten nicht abgeschlossen sind? Muss ich den Betrieb nochmals auffordern? Ich hoffe, mir kann da jemand weiter helfen. Besten Dank schon mal...