Mein Chef(Ambulanter Pflegedienst) verlangt, das ich die App "meinePflege" und WhatsApp auf meinem Handy nutze. Ich möchte das jedoch nicht?

Er kann dich nicht dazu zwingen. Wenn du das nutzen sollst muss er dir ein Diensthandy zur Verfügung stellen und das kannst du dann nach der Arbeit abschalten (wenn für dich keine Rufbereitschaft oder ähnliches besteht)

DAS mu0t du nicht. Anders wäre: ER stellt ein Handy (mit Nummer) zur Verfügung

Das kann er nicht verlangen. 

Er müsste dir ein Firmensmartphone zur Verfügung stellen.

Aber nimm das dann bloß nicht für private Zwecken.

Mache es einfach nicht. Es ist dein Eigentum und nicht seins.